[수학카페] 중3-1 수학교재 만들기(제곱근과 실수의 개념정리)

수학공부방이나 수학학원을 운영하는데 있어서 수학 교재가 정말 중요합니다. 무슨 교재를 사용하는지에 따라 학부모님의 선택이 결정될 수도 있거든요. 특히 수학학원만의 자체 교재를 사용하고 있다면 더더욱 믿음이 가는 수학학원이 될 수도 있습니다. 저도 그동안 20년 넘게 아이들을 지도하면서 프랜차이즈 교재도 사용해 보고, 시중에 좋다고 하는 교재도 사용해 보았습니다. 좋은 교재라는 것은 틀림없는 교재이지만, 저에게 딱 맞는 느낌은 아니고 약간 뭔가 아쉽다는 느낌을 항상 갖고 있었습니다. 이번 기회에 저에게 딱맞는 자체 교재를 한번 만들어 보려고 합니다. 좋은 결과물이 나왔으면 좋겠네요. 교재 제작 순서는 아래와 같습니다.

 

중3-1 수학교재 만들기 순서

첫번째 : 제곱근과 실수의 개념정리

두번째 : 제곱근과 실수의 문제유형정리

세번째 : 제곱근과 실수의 유형별 문제 만들기

 

1. 제곱근과 실수의 개념

제곱근의 뜻과 표현 : 어떤수 $x$를 제곱하여 $a$가 될 때, $x$를 $a$의 제곱근이라고 합니다.

• 양수 $a$의 제곱근은 양의 제곱근($\sqrt {a} $)과 음의 제곱근(-$\sqrt{a}$) 두 개가 있으며, 이를 한꺼번에 $\pm \sqrt{a}$ 로 나타냅니다.
• 0의 제곱근은 0 하나뿐이며, 음수의 제곱근은 생각하지 않습니다.

제곱근의 성질 : $a$ >0 일 때, ($\sqrt {a} )^2 = a $ 이고 (-$\sqrt {a} )^2 = a $입니다. 또한 $\sqrt {a^2} = a $이며, $\sqrt {(-a)^2 } = a $가 성립합니다.

• 주의 : $\sqrt {a^2} = a $꼴을 간단히 할 때는 $a$가 양수이면 그대로 $a$, $a$가 음수이면 부호를 반대로 하여 - $a$로 나타냅니다.

실수의 분류 : 실수는 유리수와 무리수로 나뉩니다.

• 유리수 : 정수, 유한소수, 순환소수와 같이 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다.
• 무리수 : 순환소수가 아닌 무한소수로, $\pi$나 $\sqrt 2$, - $\sqrt 3 $과 같이 근호를 사용하지 않고는 나타낼 수 없는 수입니다.

대소 관계 : 두 실수 $a$, $b$의 대소 관계는 $a - b$의 값의 부호를 통해 알 수 있습니다.

•   $a-b >0 $이면 $a>b$
•   $a-b =0 $이면 $a=b$
•   $a-b \lt 0 $이면 $a \lt b$

2. 근호를 포함한 식의 계산

제곱근의 곱셈과 나눗셈 : 근호 밖의 수는 밖의 수끼리, 근호 안의 수는 안의 수끼리 계산합니다.

• 곱셈 : $\sqrt a \times \sqrt b = \sqrt ab $
• 나눗셈 : $\sqrt a \div \sqrt b = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac{a}{b}} $

근호가 있는 식의 변형 : 근호 안에 제곱인 인수가 있으면 근호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.

•  $\sqrt {a^2 b} = a \sqrt b $ (단,$ a>0, b>0 $  )

분모의 유리화 : 분모가 무리수일 때, 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 과정입니다.

•  $\frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \frac{\sqrt a \times \sqrt b}{\sqrt b \times \sqrt b} = \frac{\sqrt {ab}}{b}$

제곱근의 덧셈과 뺄셈 : 다항식의 동류항 계산과 같이 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산합니다.

•  $ m \sqrt a + n \sqrt a = (m+n) \sqrt a $

분배법칙 및 복잡한 식의 계산

• 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 계산합니다.
• 근호 안에 제곱인 인수가 있으면 $a \sqrt b $꼴로 고치고, 분모에 무리수가 있으면 유리화를 먼저 한 후 사칙연산 순서에 따라 계산합니다.

중3-1 교재만들기