I. 도형의 방정식
1. 평면좌표
1.1 두 점 사이의 거리
핵심 공식
$$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
출제 포인트
- 좌표 부호 실수 주의
- 피타고라스 개념 응용
- 직각삼각형 거리 계산 문제 다수 출제
1.2 선분의 내분점
비 m:n일 때 내분점 공식
\[ (x,y) = (\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}) \]
핵심 포인트
- 중점 = m = n = 1
- 단순 평균과 구분
- 외분 공식과 혼동 주의
2. 직선의 방정식
2.1 두 직선의 위치 관계
기울기 m
- 평행: $$ (m_1 = m_2) $$
- 수직: $$ (m_1 m_2 = -1) $$
- 일치: 기울기 같고 한 점 공유
직선 방정식 형태
- 기울기-절편형
\[ y = mx + b \] - 점-기울기형
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \] - 일반형
\[ Ax + By + C = 0 \]
2.2 점과 직선 사이의 거리
거리 공식
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
주의 사항
- 직선 반드시 일반형으로 변환
- 분자는 절댓값 처리 필수
3. 원의 방정식
3.1 원의 방정식
표준형
\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]
- 중심: (a, b)
- 반지름: r
일반형
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
- 중심: $$ ( (-\frac D2, -\frac E2) ) $$
- 반지름:
\[ r = \sqrt{ (\frac D2)^2 + (\frac E2)^2 - F } \]
핵심 포인트
- 완전제곱 형태로 변환
- 일반형 → 표준형 정리 필수
3.2 원과 직선의 위치 관계
중심에서 직선까지 거리 d 와 반지름 r 비교
관계 조건
| 만나지 않음 | d > r |
| 접함 | d = r |
| 두 점에서 만남 | d < r |
풀이 절차
- 점-직선 거리 공식으로 d 계산
- 반지름 r 과 비교
4. 도형의 이동
4.1 평행이동
좌표 이동 공식
\[ (x, y) → (x+p, y+q) \]
방정식 처리
- x → x - p
- y → y - q
4.2 대칭이동
좌표축 대칭
기준 변환 결과
| x축 대칭 | (x, -y) |
| y축 대칭 | (-x, y) |
| 원점 대칭 | (-x, -y) |
직선 대칭
- 직선 y = a 대칭
\[ (x, y) → (x, 2a - y) \] - 직선 x = a 대칭
\[ (x, y) → (2a - x, y) \]
핵심 개념
- 기준선까지 거리 동일
- 좌표 공식 절대암기
✅ 시험 직전 체크리스트
✅ 두 점 거리 공식
✅ 내분점 좌표 공식 (중점 필수 암기)
✅ 평행 m 같음 / 수직 곱 -1
✅ 점-직선 거리 공식
✅ 원 일반형 ↔ 표준형 변환
✅ 접선 조건 d = r
✅ 평행·대칭 이동 좌표 치환 규칙
