일차방정식의 활용에 이어 반비례 관계(\(y = \frac{a}{x}\))의 활용은 두 변수의 곱이 항상 일정한 상황에서 관계식을 세워 문제를 해결하는 유형입니다.
소스들을 바탕으로 주요 문제 유형과 풀이 방법을 정리해 드립니다.

1. 반비례 관계 활용의 핵심 원리

* 정의: \(x\)의 값이 2배, 3배, 4배가 됨에 따라 \(y\)의 값은 \(\frac{1}{2}\)배, \(\frac{1}{3}\)배, \(\frac{1}{4}\)배가 되는 관계입니다.
* 핵심 식: \(y = \frac{a}{x}\) (\(a \neq 0\)) 또는 \(xy = a\) (일정).
* 여기서 \(a\)는 두 양을 곱했을 때 나오는 전체 총량을 의미합니다.

2. 주요 문제 유형

유형 1: 전체를 똑같이 나누는 경우 (생활 속 분배)

일정한 총량을 여러 명에게 똑같이 나누어 주는 상황입니다.
* 예시: "주스 1500 mL를 \(x\)명에게 똑같이 나누어 줄 때 한 학생이 마시는 양 \(y\) mL".
* 관계식: \(y = \frac{1500}{x}\) (또는 \(xy = 1500\)).
* 예시: "사과 400개를 \(x\)개의 상자에 똑같이 담을 때 한 상자에 담기는 개수 \(y\)개".
* 관계식: \(y = \frac{400}{x}\).

유형 2: 도형의 넓이가 일정한 경우

직사각형의 넓이가 고정되어 있을 때 가로와 세로의 길이 관계를 다룹니다.
* 핵심 원리: (가로 길이 \(x\)) \(\times\) (세로 길이 \(y\)) = (일정한 넓이 \(a\)).
* 예시: "넓이가 56 cm²인 직사각형의 가로 \(x\) cm, 세로 \(y\) cm".
* 관계식: \(y = \frac{56}{x}\).

유형 3: 일의 양과 시간 (공동 작업)

전체 일의 양이 정해져 있을 때 투입 인원과 걸리는 시간의 관계입니다.
* 예시: "2명이 함께 하면 7일(일주일) 걸리는 일을 \(x\)명이 함께 하면 \(y\)일 걸린다".
* 전체 일의 양은 \(2 \times 7 = 14\)이므로 관계식은 \(y = \frac{14}{x}\).
* 예시: "기계 30대로 14시간 작업해야 끝나는 일을 기계 \(x\)대로 하면 \(y\)시간 걸린다".
* 관계식: \(y = \frac{420}{x}\) (\(30 \times 14 = 420\)).

유형 4: 속력과 시간 (거리가 일정한 경우)

가야 할 거리가 정해져 있을 때 속력과 시간의 관계입니다.
* 핵심 원리: (속력 \(x\)) \(\times\) (시간 \(y\)) = (전체 거리 \(a\)).
* 예시: "50 km의 거리를 시속 \(x\) km로 달릴 때 걸리는 시간 \(y\)시간".
* 관계식: \(y = \frac{50}{x}\).

유형 5: 과학적 원리 (기체의 압력과 부피)

* 핵심 원리: 일정한 온도에서 기체의 부피(\(y\))는 압력(\(x\))에 반비례한다 (보일의 법칙).
* 예시: "압력이 4기압일 때 부피가 12 m³인 기체의 압력 \(x\)와 부피 \(y\) 사이의 관계".
* \(4 \times 12 = 48\)이므로 관계식은 \(y = \frac{48}{x}\).

3. 문제 해결 5단계 (Checklist)

1. 변수(\(x, y\)) 정하기: 문제에서 변하는 두 양을 찾아 각각 \(x, y\)로 놓습니다.
2. 반비례 관계인지 확인: \(x\)가 2배, 3배 늘어날 때 \(y\)가 \(1/2, 1/3\)배로 줄어드는지, 혹은 두 양의 곱(\(xy\))이 일정한지 확인합니다.
3. 관계식 세우기: \(y = \frac{a}{x}\) 또는 \(xy = a\) 꼴로 식을 세웁니다.
4. 값 대입하여 계산: 문제에서 주어진 구체적인 수치(\(x=p\) 또는 \(y=q\))를 식에 대입하여 구하려는 값을 찾습니다.
5. 답 확인 및 단위 표기: 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인하고 단위를 붙여 답을 완성합니다.
💡 풀이 팁
* 반비례 활용 문제에서는 '전체 총량(\(a\))'이 얼마인지를 먼저 구하는 것이 가장 빠른 풀이 방법입니다. 두 변수의 값을 곱하기만 하면 바로 \(a\)를 찾을 수 있습니다.
* 톱니바퀴 문제에서도 한 쪽 톱니바퀴의 '톱니 수 \(\times\) 회전수'를 구하면 전체 이동한 톱니 수를 알 수 있어 반비례 식을 세우기 좋습니다.