일차방정식의 활용 문제 중 일에 관한 문제는 전체 일의 양을 숫자로 어떻게 두느냐가 풀이의 핵심입니다. 소스들을 바탕으로 주요 문제 유형과 풀이 방법을 쉽게 설명해 드립니다.

1. 일 문제의 핵심 원리

* 전체 일의 양 = 1: 어떤 일을 완성한다는 것을 숫자 1로 놓습니다.
* 단위 시간당 일의 양: 혼자서 일을 완성하는 데 \(a\)일이 걸린다면, 하루 동안 하는 일의 양은 \(\frac{1}{a}\)입니다.
* 예: 어떤 일을 완성하는 데 10일이 걸린다면, 하루에 하는 일의 양은 \(\frac{1}{10}\)입니다.
* 작업량 계산: (하루 동안 하는 일의 양) \(\times\) (일한 기간) = (한 일의 양).

2. 주요 문제 유형 및 예시

유형 1: 여러 명이 함께 일하여 완성하기

두 사람이 처음부터 끝까지 함께 일하여 일을 마치는 경우입니다.
* 핵심 식: (A가 하루에 하는 양 \(\times x\)) + (B가 하루에 하는 양 \(\times x\)) = 1
* 예시: "아버지는 10일, 형은 15일이 걸리는 일을 두 사람이 함께 한다면 며칠이 걸리는가?"
* 미지수 정하기: 함께 일한 기간을 \(x\)일이라 합니다.
* 방정식 세우기: 아버지는 하루에 \(\frac{1}{10}\), 형은 \(\frac{1}{15}\)만큼 일하므로
\(\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = 1\)

유형 2: 일을 나누어서 하는 경우 (중간에 교체)

함께 일하다가 한 사람이 그만두거나, 혼자 하다가 나중에 합류하여 완성하는 유형입니다.
* 핵심 식: (함께 한 일의 양) + (혼자 한 일의 양) = 1
* 예시: "윤서는 12일, 수지는 16일 걸리는 일을 두 사람이 함께 3일 동안 하고 나머지는 수지가 혼자 하여 완성했다. 수지가 혼자 일한 기간은?"
* 미지수 정하기: 수지가 혼자 일한 기간을 \(x\)일이라 합니다.
* 방정식 세우기: 두 사람이 함께 3일 일한 양 + 수지가 \(x\)일 일한 양 = 1
\(3(\frac{1}{12} + \frac{1}{16}) + \frac{1}{16}x = 1\)

3. 문제 해결 4단계 (Checklist)

1. 전체 일의 양을 1로 정하기: 가장 먼저 해야 할 일입니다.
2. 각자의 '하루(또는 1시간)' 작업량 구하기: 완성까지 걸리는 시간의 역수를 구합니다.
3. 방정식 세우기: 문제의 상황(함께 했는지, 따로 했는지)에 따라 식을 만듭니다. 이때 우변은 항상 1이 됩니다.
4. 방정식 풀기 및 확인: 구한 \(x\)값이 일한 기간(양수)인지 확인하고 단위를 붙입니다.
💡 풀이 팁
* 단위 주의: '며칠'인지 '몇 시간'인지 문제의 단위를 확인하세요.
* 함께 할 때: 여러 명이 함께 하면 각자의 하루 작업량을 더해서 계산하면 됩니다.
* 남은 일: "나머지 일을 완성했다"는 표현이 나오면, 전체 1에서 이미 한 일의 양을 뺀 값이 나머지 작업량이 됩니다.